题目内容

（1）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；
②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式．
（2）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①求直线AC的解析式；
②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线y=- $数学公式$ x²+kx上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由．

解：（1）①根据题意知，CD=CB=OA=5
∵∠COD=90°
∴CD= $\text{[math]}$ =3
∴D点坐标为（3，0）
②过P作PG⊥x轴于G

据题知，PG= $\text{[math]}$ AB=2，DG= $\text{[math]}$ AD=1
∴P点坐标（4，2）
∵点P，B在抛物线y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14
③当点F在x轴上时，过Q作QM⊥x轴于M

同②可知QM= $\text{[math]}$ AB=2，则Q点的纵坐标为2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q点的坐标为（3，2）或（4，2）
当Q点坐标为（3，2）时，如图，OM=3，MA=2，FA=4
AB=4
FA=AB，而l为BF的中垂线
∴点A在l上
∴l的解析式为y=-x+5．
当Q点坐标为（4，2）时，如图，OM=4，MA=1，OF=3，CF=5，而CB=5；
∴CF=CB
∵l为BF的中垂线
∴点C在l上．
∴l的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+4．
当点F在y轴上时，可求得Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），l与y轴的交点为（0， $\text{[math]}$ ）
∴l的解析式为y=-2x+ $\text{[math]}$
综上所述，l的解析式为y=-x+5或y=- $\text{[math]}$ x+4或y=-2x+ $\text{[math]}$ ．
（2）①∵OA=5，OC=4，
∴A（5，0），C（0，4）；
∴直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+4．
②可知：M点坐标为（ $\text{[math]}$ ，2）．
由题设知：- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²+k• $\text{[math]}$ =2．
∴k= $\text{[math]}$
③∵CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°
∴OD=3，即D（3，0）．
当x=3时，y=- $\text{[math]}$ ×3²+ $\text{[math]}$ ×3=0
∴点D在抛物线上．
分析：（1）①求D点坐标，关键是求OD的长，根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，在直角三角形OCD中，根据OC、CD的长，即可用勾股定理求出OD的值．也就求出了D点的坐标．
②还是根据折叠的性质求解，根据折叠的性质不难得出CE垂直平分BD，即P为BD中点，因此P点横坐标为OD的长加上AD的一半，而P点纵坐标为B点纵坐标的一半，据此可求出P点坐标．然后将P、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．
③由于F点的位置不确定，可分两种情况：
①当F在x轴上时，Q点纵坐标为B点总坐标的一半，由此可求出Q点纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，可求得Q点的坐标．然后根据Q点坐标，然后根据Q点坐标去求直线l与坐标轴其他交点的坐标．
②当F在y轴上时，Q点横坐标为B点横坐标的一半，可将其代入抛物线的解析式中求出Q点坐标，后同①．（本题也可先求出直线BQ的解析式，由于直线l垂直BQ，那么直线l的斜率和直线BQ的斜率的积为-1，又知直线l过Q点可求出直线l的解析式．）
（2）题较简单，参照（1）题部分解题过程即可．
①已知OA=5，OC=4故A（5，0），C（0，4）求出直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+4．
②可知M点坐标为（ $\text{[math]}$ ，2），设- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²+k• $\text{[math]}$ =2可求得k值．
③已知CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°推出D（3，0）．当x=3时，y=- $\text{[math]}$ ×3²+ $\text{[math]}$ ×3=0，得出点D在抛物线上．
点评：本题考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、图形的翻折变换等知识，（1）③中要注意F点的位置是坐标轴而不是x轴，因此要分类讨论，不要漏解．