题目内容
【题目】如图所示,中,是边上一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连接.
(1)求证:是的中点;
(2)若,试判断四边形的形状,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)矩形,理由见解析;
【解析】
(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解;
(2)由(1)知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形,而AB=AC,AD是中线,利用等腰三角形三线合一定理,可证AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.
(1)
证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵点E为AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,
,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴CD=BD,
∴D是BC的中点;
(2)解:若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下:
∵△AEF≌△DEC,
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴CD=BD;
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AFBD是矩形.
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