题目内容

【题目】如图所示,中,边上一点,的中点,过点的平行线交的延长线于,且,连接

1)求证:的中点;

2)若,试判断四边形的形状,并证明你的结论.

【答案】1)见解析;(2)矩形,理由见解析;

【解析】

1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=DCE,然后利用角角边证明△AEF和△DEC全等,再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解;
2)由(1)知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形,而AB=ACAD是中线,利用等腰三角形三线合一定理,可证ADBC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.

1

证明:∵AFBC
∴∠AFE=DCE
∵点EAD的中点,
AE=DE
AEFDEC中,

∴△AEF≌△DECAAS),
AF=CD
AF=BD
CD=BD
DBC的中点;

2)解:若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下:
∵△AEF≌△DEC
AF=CD
AF=BD
CD=BD
AFBDAF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形,
AB=ACBD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD是矩形.

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