Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点M为AB的中点,且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同侧,以点M为旋转中心将∠PMQ旋转,MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D.设AD=m(m＞0)，BC=n，求n与m之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下,当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时,直接写出∠PMQ的另一边与x轴的交点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】试题分析：（1）由抛物线得B（0，-4），再结合OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，即可求得点A的坐标，从而求得结果；

（2）先根据等腰直角三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，即得∠ADM+∠AMD＝135°，由∠CMD＝45°可得∠AMD+∠BMC＝135°，证得△ADM∽△BMC，根据相似三角形的性质可得，再根据M为AB的中点可得AM＝BM＝，即可求得所求的函数关系式；

（3）由即可求得抛物线与x轴另一个交点为，由点A、B的坐标可求得AB中点M的坐标，再分①当MP经过点（-2，0）时，②当MQ经过点（-2，0）时，这两种情况求解即可.

（1）由抛物线得B（0，-4），

∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，

∴A（4，0）

将A（4，0）代入得

，解得

∴抛物线的解析式为；

（2）∵OA＝OB=4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，

∴∠ADM+∠AMD＝135°

∵∠CMD＝45°

∴∠AMD+∠BMC＝135°，

∴∠ADM＝∠BMC，

∴△ADM∽△BMC，

∴，则，

∵M为AB的中点，

∴AM＝BM＝，

∴就是所求的函数关系式；

（3）由

∴抛物线与x轴另一个交点为（-2，0），

∵A（4，0），B（0，-4），

∴AB中点M的坐标为（2，-2）

①当MP经过点（-2，0）时，MP的解析式为

∵MP交y轴于点C，

∴C（0，-1），则n=BC＝OB－OC＝3

由，得

∴OD=OA-AD=，则D（，0）

∵MQ经过M（2，-2）、D（，0），

∴MQ的解析式为；

②当MQ经过点（-2，0）时，MQ的解析式为

此时，点D的坐标为（-2，0），m=AD=6

∴，即BC＝

∴OC＝OB－BC＝，则C（0，－ ）

∵MP经过M（2，-2）、C（0，－ ），

∴MP的解析式为.