题目内容
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．如果x1+x2=1，x1•x2=-6，且△ABC的面积为| 15 | 2 |
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如果P是线段AC上一个动点（不与A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）已知A，B的坐标，易求出三角形ABC的面积以及点C的坐标．易求解析式．
（2）假设存在点R，直线y=m与y轴的交点为点E，根据△PQR为等腰直角三角形列式求解即可．
（2）假设存在点R，直线y=m与y轴的交点为点E，根据△PQR为等腰直角三角形列式求解即可．
解答：解：根据题意画出图形如下所示：
（1）A（-2，O），B（3，0），
S△ABC=
，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-
x2+
x+3．
（2）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
即（3-m）-
=m，
解得m=
．
∴P（xP，
），Q（xQ，
），
点P在直线AC上，
解得xP=-
，P（-
，
）．
∴点R1（-
，0）．
过点Q作QR2⊥x轴于R2，
同理可求得xQ=
，Q（
，
）．
∴点R2（
，0）．验证成立，
∴R1（-
，0）、R2（
，0）是满足条件的点．
（1）A（-2，O），B（3，0），
S△ABC=
| 15 |
| 2 |
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
即（3-m）-
| 2m-6 |
| 3 |
解得m=
| 15 |
| 8 |
∴P（xP，
| 15 |
| 8 |
| 15 |
| 8 |
点P在直线AC上，
解得xP=-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 15 |
| 8 |
∴点R1（-
| 3 |
| 4 |
过点Q作QR2⊥x轴于R2，
同理可求得xQ=
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 15 |
| 8 |
∴点R2（
| 9 |
| 8 |
∴R1（-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
点评：本题考查的是二次函数的综合运用，难度较大，要利用大量的辅助线的帮助，注意各部分知识的综合应用，并注意总结积累这些综合题的解题思路．
练习册系列答案
相关题目
与x轴的另一个交点为E．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（其中b＞0，c＜0）的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O，作OA⊥PQ，垂足为A，且OA=