题目内容
已知抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x
1,0),B(x
2,0)(A在B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.如果x
1+x
2=1,x
1•x
2=-6,且△ABC的面积为
.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)如果P是线段AC上一个动点(不与A、C重合),过点P作直线y=m(m为常数),与直线BC交于点Q,则在x轴上是否存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)已知A,B的坐标,易求出三角形ABC的面积以及点C的坐标.易求解析式.
(2)假设存在点R,直线y=m与y轴的交点为点E,根据△PQR为等腰直角三角形列式求解即可.
解答:解:根据题意画出图形如下所示:

(1)A(-2,O),B(3,0),
S
△ABC=
,
∴c=3,C(0,3).
∴抛物线的解析式是y=-
x
2+
x+3.
(2)假设存在满足条件的点R,并设直线y=m与y轴的交点为E(0,m),
由(1),知AB=5,OC=3.
点P不与点A、C重合,
∴点E(0,m)不与点O、C重合.
∴0<m<3.
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰,
过点P作PR
1⊥x轴于点R
1,则∠R
1PQ=90°,PQ=PR
1=m.
即(3-m)-
=m,
解得m=
.
∴P(x
P,
),Q(x
Q,
),
点P在直线AC上,
解得x
P=-
,P(-
,
).
∴点R
1(-
,0).
过点Q作QR
2⊥x轴于R
2,
同理可求得x
Q=
,Q(
,
).
∴点R
2(
,0).验证成立,
∴R
1(-
,0)、R
2(
,0)是满足条件的点.
点评:本题考查的是二次函数的综合运用,难度较大,要利用大量的辅助线的帮助,注意各部分知识的综合应用,并注意总结积累这些综合题的解题思路.
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