Question

（2012•北碚区模拟）受国际炒家炒作的影响，今年棉花价格出现了大幅度波动．1至3月份，棉价大幅度上涨，其价格y₁ （元/吨）与月份x 之间的函数关系式为：y₁=2200x+24200（1≤x≤3，且x取整数）．而从4月份起，棉价大幅度走低，其价格y₂（元/吨）与月份x（4≤x≤6，且x取整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出棉价y₂ （元/吨）与月份x之间所满足的一次函数关系式；
（2）某棉被厂今年1至3月份的棉花进货量p₁ （吨）与月份x之间所满足的函数关系式为：p₁=-10x+170 （1≤x≤3，且x取整数）；4至6月份棉花进货量p₂（吨）与月份x之间所满足的函数关系式为p₂=40x-20 （4≤x≤6，且x取整数）．求在前6个月中该棉被厂的棉花进货金额最大的月份和该月的进货金额；
（3）经厂方研究决定，若7月份棉价继续下降，则对棉花进行收储．若棉价在6月份的基础上下降a%，则该厂7月份进货量在6月份的基础上增加2a%．若要使7月份进货金额为5130400元，请你估算出a的最大整数值．
（参考数据：35²=1225，36²=1296，37²=1369，38²=1444）

Answer 1

分析：（1）将（4，26000），（5，24000）代入得一次函数解析式求出即可；
（2）设每月棉花的进货金额为w₁（元），根据w₁=p₁•y₁求出关系式，再利用最值公式求出即可，再设每月棉花的进货金额为w₂（元），w₂=p₂•y₂，求出即可．
（3）根据棉价在6月份的基础上下降a%，该厂7月份进货量在6月份的基础上增加2a%，得出220（1+2a%）×22000（1-a%）=5130400关系式求出a即可．

解答：解：（1）设一次函数y₂=kx+b，将（4，26000），（5，24000）代入得：

26000=4k+b 24000=5k+b

，
解得：

k=-2000 b=34000

．
故y₂=-2000x+34000（4≤x≤6，且x取整数）．   

（2）在1到3月份中，设每月棉花的进货金额为w₁（元），
w₁=p₁•y₁=（-10x+170）（2200x+24200），
=-22000x²+132000x+4114000（1≤x≤3，且x取整数）．   
∵-

b

2a

=3，
∴第3月份的进货金额最大，其最大金额为w₁=-22000×3²+132000×3+4114000=4312000元．
在4到6月份中，设每月棉花的进货金额为w₂（元），w₂=p₂•y₂=（40x-20）（-2000x+34000）=-80000x²+1400000x-680000（4≤x≤6，且x取整数）．  
∵-

b

2a

=8.75＞6，而当4≤x≤6时，w₂随x的增大而增大，
∴第6月份的进货金额最大，其最大金额为w₂=-80000×6²+1400000×6-680000=4840000元，
∵4312000＜4840000，
∴在前6个月中，第6月份棉被厂的棉花进货金额最大，最大金额为4840000元． 

（3）6月份的进货量为p₂=40×6-20=220（吨），
棉价为 y₂=-2000×6+34000=22000 （元/吨），
由题意得：
220（1+2a%）×22000（1-a%）=5130400，
令t=a%，整理得出：100t²-50t+3=0，
解得 t=

50± 1300

200

=a%．                      
∵36²=1296，37²=1369，而1296更接近1300，
∴取

1300

≈36．
∴a≈7或a≈43．
∵所求为最大整数值，
∴a取 43，
答：a的最大整数值为43．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数的最值问题和一元二次方程的应用，根据已知得出关于利润与月份的二次函数关系式是解题关键．