Question

【题目】如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S四边形ACPQ＝﹣m2+m+；m的取值范围为1≤m＜3；（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形．

【解析】

（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．

（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM＝MN；②CM＝CN；③MN＝CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．

（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c

∴，

解得

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）

设直线MB的解析式为y＝kx+n，代入B（3，0），M（1，4）

则有

解得

∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6

∵PQ⊥x轴，OQ＝m，

∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）

S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AOCO+（PQ+CO）OQ（1≤m＜3）

＝×1×3+（﹣2m/span>+6+3）m＝﹣m2+m+；

（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形，

∵CM＝，CN＝，MN＝

①当CM＝NC时，，

解得x1＝，x2＝1（舍去）

此时N（，），

②当CM＝MN时，，

解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），

此时N（1+，4﹣）

③当CN＝MN时，＝

解得x＝2，此时N（2，2）．