Question

某楼盘一楼是车库(暂不出售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)，商品房售价方案如下：第八层售价为3 000元/米²，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米，开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款)．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)
(1)请写出每平方米售价y(元/米²)与楼层x(2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式．
(2)小张已筹到120 000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．

Answer 1

（1）y＝x为正整数
（2）小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层
（3）见解析

解：(1)1°当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3 000－(8－x)×20＝20x＋2 840(元/平方米)
2°当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3 000＋(x－8)·40＝40x＋2 680(元/平方米)
∴y＝x为正整数．
(2)由(1)知：
1°当2≤x≤8时，小张首付款为
(20x＋2 840)·120·30%
＝36(20x＋2 840)≤36(20×8＋2 840)＝108 000元＜12 0 000元
∴2～8层可任选．
2°当9≤x≤23时，小张首付款为(40x＋2 680)×120×30%＝36(40x＋2 680)元
36(40x＋2 680)≤120 000，解得x≤＝16
∵x为正整数，∴9≤x≤16
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y₁＝(40×16＋2 680)×120×92%－60a(元)
若按老王的想法则要交房款为：
y₂＝(40×16＋2 680)×120×91%(元)
∵y₁－y₂＝3 984－60a
当y₁＞y₂即y₁－y₂＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
当y₁≤y₂即y₁－y₂≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．