Question

【题目】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求这个长方形零件PQMN面积S的最大值．

Answer 1

【答案】解：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80﹣x． ∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴ = ．
因此， = ．
解得a=120﹣ x．
所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120﹣ x）=﹣ x2+120x．
当x=﹣ =40时，a=60．
S最大值=40×60=2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2
【解析】设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=xa，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．