题目内容
在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,-1),AB=
.
(1)如图1,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,与x轴的负半轴交于点C,过点A作AH⊥BC于H交y轴于D,求点D的坐标;
(2)如图2,在线段OA上有一点E满足S△OEB:S△EAB=1:
,直线AN平分△OAB的外角交BE于N.求∠BNA的度数;
(3)如图3,动点Q为A右侧x轴上一点,另有在第四象限的动点P,动点P、Q,总满足∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ.①请画出满足题意的图形;②若点B在y轴上运动,其他条件不变,∠ABO=α,请直接用含α的式子表示∠BPQ的值(不需证明).




∵AH⊥BC,
∴∠AHB=90°,
∵∠BDH=∠ODA,
∴∠HBD=∠OAH,
∴Rt△AOD∽Rt△BOC,
∴




∴OD=

∴D点坐标为(0,1-

(2)作EF⊥AB于F,如图2,
∵OA=OB=1,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴EF=

∵S△OEB:S△EAB=1:

∴OE=


∴AE=OA-OE=2-

∴EF=



∴EF=EO,
∴BE平分∠OBA,
∴∠EBA=

∵直线AN平分△OAB的外角交BE于N,
∴∠NAE=

∴∠BNA=180°-22.5°-67.5°-45°=45°;
(3)①作AB和AQ的垂直平分线,它们相交于P点,如图;
②∵∠ABO=α,
∴∠BAQ=90°+α,即∠PAB+∠PAQ=90°+α,
∵∠PAB=∠PBA,∠PQA=∠PAQ,
∴∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=2(90°+α)=180°+2α,
∴∠BPQ=360°-(∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ)=180-2α.
分析:(1)先根据半径相等得到AC=AB=




(2)作EF⊥AB于F,先判断△OAB为等腰直角三角形,得到∠OBA=∠OAB=45°,则又可判断△AEF为等腰直角三角形,于是有EF=








(3)①分别作AB和AQ的垂直平分线,它们的交点为P点,根据相等垂直平分线的性质得到PA=PB,PA=PQ,则∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ;
②先根据三角形外角性质得到∠BAQ=90°+α,即∠PAB+∠PAQ=90°+α,由∠PAB=∠PBA,∠PQA=∠PAQ得到∠PAB+∠PBA+∠PQA+∠PAQ=180°+2α,
然后根据四边形的内角和为360°可计算出∠BPQ=180-2α.
点评:本题考查了综合题:熟练掌握等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质;会运用角平分线定理的逆定理证明角相等;运用三角形相似进行几何计算.

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