Question

【题目】已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，AC为对角线，AC⊥BC.

（1）求证：四边形AECD是菱形.

（2）若∠DAE=60°，AE=2，求菱形AECD的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)先证AE=CD，AE∥CD，得四边形AECD是平行四边形，再证CE=AE ，得

平行四边形AECD是菱形；

（2）过点C作CF⊥EB交EB于点F. 先求EF，再根据勾股定理求CF，再根据平行四边形面积公式可求出四边形面积.

（1）∵E为AB的中点

∴AB=2AE

∵AB=2CD

∴AE=CD

又∵AB∥CD

∴AE∥CD

∴四边形AECD是平行四边形

∵AC⊥BC

∴∠ACB=90°

又∵E为AB的中点

∴,

∴CE=AE

平行四边形AECD是菱形

（2）过点C作CF⊥EB交EB于点F.

∵四边形AECD是菱形

∴AD∥EC，AE=CE

∴∠DAE=∠1

∵∠DAE=60°，AE=2

∴∠1=60°，CE=2

∵CF⊥EB

∴∠CFE=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠2=30°

∴

，

∴