题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D为BC中点，E为边AB上一动点(不与A、B点重合)，以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN=90°，另一条边DN与边AC交于点F．下列结论中正确结论是( )
①BE=AF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③无论点E、F的位置如何，总有EF=DF+CF成立；
④四边形AEDF的面积随着点E、F的位置不同发生变化．
A.①③B.②③C.①②D.①②③④
【答案】C
【解析】
由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，即可求解．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，
∵∠MDN＝90°＝∠ADB，
∴∠BDE＝∠ADF，且BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，
∴S△BDE+S△ADE＝S△ADF+S△ADE，
∴四边形AEDF的面积＝S△ABD＝
S△ABC，
故①符合题意，④不符合题意，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故②符合题意，
当点F在AC中点时，可得EF＝BC＝AD，DF+CF＝AC，
∵AD≠AC，
故③不合题意，
故选：C．
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