Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，
（1）若cos∠B=

1

3

，且△ABC的周长为24，求AB的长度；
（2）若tan∠A=

5

2

，且BC=2

3

，求AB的长度．

Answer 1

分析：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据余弦的定义即可求解；
（2）作BH⊥AC于点H，∴∠AHB=90°，根据直角三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADB=90°
∴在△ADC中，cos∠B=

BD

AB

=

1

3

，
设BD=k，AB=3k．
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=DC=k，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC+BC=24．
∴3k+3k+2k=24，即8k=24，
∴k=3
∴AB=9；

（2）解：作BH⊥AC于点H，
∴∠AHB=90°
∴在△AHB中，tan∠A=

BH

AH

=

5

2

，
设BH=

5

k，AH=2k．
在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=3k．
∵AB=AC，
∴CH=AC-HC=k，
∵在△BHC中，BH=

5

k，CH=k，BC=2

3

，
又∵∠BHC=90°．
∴BH²+HC²=BC²，即5x²+x²=12
解得：x=

2

，
∴AB=3

2

．

点评：本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握直角三角形的基本性质．