题目内容
【题目】(2016宁夏第26题)在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：
（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．
【答案】(1)、S=
（x﹣2）2+4；x=2，最小值为4；(2)、存在，理由见解析.
【解析】
试题分析：(1)、可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；(2)、用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．
试题解析：(1)、∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=4，CD=AB=3， 当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，
∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，
∴S△ADQ=
ADAQ=×4x=2x，S△BPQ=BQBP=（3﹣x）x=
x﹣
x2，S△PCD=PCCD=（4﹣x）3=6﹣
x，
又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12，
∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=
（x﹣2）2+4，
即S=（x﹣2）2+4， ∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，
∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，
又当x=0时，S=5，当S=3时，S=
，但x的范围内取不到x=0，
∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；
(2)、存在，理由如下：
由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x， 当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，
∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C， ∴△BPQ∽△PCD，
∴
=
，即
=
，解得x=
（舍去）或x=
，
∴当x=时QP⊥DP．
