题目内容
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为
点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y= x2－8x+12
点P的坐标为（4，－4）
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x－12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， －4） ∴ OP=4
设D(x，2x) 则BD2=（2x）2+(6－x)2
当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32
解得：x1=
，x 2=2
当x2=2时，OD=BP=
，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D(，
)时，四边形OPBD为等腰梯形
（3）① 当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t ∴PH=t，MH=t，HN=
t ∴MN=
t
∴S=t·t·=
t2
② 当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t
∵MN∥OB ∴ 
∽
∴
∴ 
∴ 
=3t2－12t+12
∴S=t2－(3t2－12t+12)= －
t2+12t－12
∴ 当0＜t≤2时，S=t2
当2＜t＜4时，S=－t2+12t－12
