Question

已知二次函数y=ax²-（a+1）x-4（a为常数）
（1）已知二次函数y=ax²-（a+1）x-4的图象的顶点在y轴上，求a的值；
（2）经探究发现无论a取何值，二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点．请求出这两个定点的坐标；
（3）已知关于x的一元二次方程ax²-（a+1）x-4=0的一个根在-1和0之间（不含-1和0），另一个根在2和3之间（不含2和3），试求整数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意二次函数y=ax²-（a+1）x-4的图象的顶点在y轴上，可知函数对称轴为x=0，再根据对称轴的公式求出a值；
（2）由题意无论a取何值，二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点，可得x²-x=0，此时无论a取何值，x=0或1为定值，从而求出两定点的坐标；
（3）由题意方程ax²-（a+1）x-4=0的一个根在-1和0之间，说明f（-1）与f（0）异号，又另一个根在2和3之间（不含2和3），说明f（2）与f（3）异号，从而解出a的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²-（a+1）x-4的图象的顶点在y轴上，
∴函数的对称轴为x=0，
∴-

-(a+1)

2a

=0，
∴a=-1；（3分）

（2）（法一）∵无论a取何值，二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点．
∴令a=0，a=-1得：

y=-x-4 y=-x2-4

解得：

x=0 y=-4

或

x=1 y=-5

（6分）
∴这两个定点的坐标是（0，-4）或（1，-5）．（7分）
（法二）∵y=ax²-（a+1）x-4=（x²-x）a-x-4，
无论a取何值，这个二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点，
∴x²-x=0，
∴

x=0 y=-4

或

x=1 y=-5

（6分）
∴这两个定点的坐标是（0，-4）或（1，-5）；（7分）

（3）令f（x）=y=ax²-（a+1）x-4
∵ax²-（a+1）x-4=0在（-1，0）之间有一根
∴f（-1）与f（0）异号
∴f（-1）•f（0））=（2a-3）•（-4）＜0…①（8分）
∵ax²-（a+1）x-4=0在（2，3）之间有一根
∴f（2）与f（3）异号
∴f（2）•f（3）=（a-3）•（6a-7）＜0…②（9分）
由①②解不等式组

2a-3＞0 (a-3)(6a-7)＜0

（10分）
解得

3

2

＜a＜3，（11分）
∵a为整数，
∴a=2时，二次方程a=2时，二次方程ax²-（a+1）x-4=0的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间．（12分）

点评：此题是一道综合题，主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，图象与x轴交点两边的函数值异号，要充分运用这一点来解题．