Question

如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　    　．

Answer 1

8﹣2和8+2

首先由一次函数解析式求出OA、OB的长，而△ABE中，BE边上的高是OA，且OA为定值，所以求△ABE面积的最小值和最大值，转化为求BE的最小值和最大值。过点A作⊙C的两条切线AD、AD′，当动点运动到D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当动点运动到D′点时，BE最大，即△ABE面积最大。最后根据比例求出BE 、BE′的值，进而求出△ABE面积的最小值和最大值．
解：由y=x+4得：
当x=0时，y=4，当y=0时，x=﹣4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，

当动点运动到D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当动点运动到D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′=E′D′，
设E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切线，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，
∴sin∠CAD′==，
∴=，
解得：x=，
∴BE′=4+，BE=4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4=8﹣2，
最大值是：×（4+）×4=8+2，
故答案为：8﹣2和8+2．