题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点ABC,已知A(﹣10),C03).

1)求抛物线的表达式;

2)如图1P为线段BC上一点,过点Py轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标;

3)如图2,抛物线顶点为EEFx轴于F点,N是线段EF上一动点,Mm0)是x轴上一动点,若∠MNC90°,直接写出实数m的取值范围.

【答案】1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3

2)当a时,△BDC的面积最大,此时P);

3m的取值范围为:﹣m≤5

【解析】

1)由y=﹣x2+bx+c经过点ABCA(﹣10),C03),利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;

2)首先令﹣x2+2x+30,求得点B的坐标,然后设直线BC的解析式为ykx+b,由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设Pa3a),即可得Da,﹣a2+2a+3),即可求得PD的长,由SBDCSPDC+SPDB,即可得SBDC=﹣a2+,利用二次函数的性质,即可求得当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;

3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m=(n2,然后根据n的取值得到最小值.

解:(1)由题意得:

解得:

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3

2)令﹣x2+2x+30

x1=﹣1x23

B30),

设直线BC的解析式为ykx+b

解得:

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3

Pa3a),则Da,﹣a2+2a+3),

PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3a)=﹣a2+3a

SBDCSPDC+SPDB

PDa+PD3a

PD3

(﹣a2+3a

=﹣a2+

∴当a时,△BDC的面积最大,此时P);

3)由(1),y=﹣x2+2x+3=﹣(x12+4

E14),

N1n),则0≤n≤4

CM的中点Q),

∵∠MNC90°

NQCM

4NQ2CM2

NQ2=(12+n2

4[12+n2]m2+9

整理得,mn23n+1,即m=(n2

0≤n≤4

n上,M最小值=﹣n4时,M最小值5

综上,m的取值范围为:﹣m≤5

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