题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴上一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数m的取值范围.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)当a=时,△BDC的面积最大,此时P(
,
);
(3)m的取值范围为:﹣≤m≤5.
【解析】
(1)由y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,A(﹣1,0),C(0,3),利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;
(2)首先令﹣x2+2x+3=0,求得点B的坐标,然后设直线BC的解析式为y=kx+b′,由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设P(a,3﹣a),即可得D(a,﹣a2+2a+3),即可求得PD的长,由S△BDC=S△PDC+S△PDB,即可得S△BDC=﹣(a﹣
)2+
,利用二次函数的性质,即可求得当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m=(n﹣)2﹣
,然后根据n的取值得到最小值.
解:(1)由题意得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)令﹣x2+2x+3=0,
∴x1=﹣1,x2=3,
即B(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b′,
∴,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
设P(a,3﹣a),则D(a,﹣a2+2a+3),
∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a,
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
=PDa+
PD(3﹣a)
=PD3
=(﹣a2+3a)
=﹣(a﹣
)2+
,
∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(
,
);
(3)由(1),y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴E(1,4),
设N(1,n),则0≤n≤4,
取CM的中点Q(,
),
∵∠MNC=90°,
∴NQ=CM,
∴4NQ2=CM2,
∵NQ2=(1﹣)2+(n﹣
)2,
∴4[(1﹣)2+(n﹣
)2]=m2+9,
整理得,m=n2﹣3n+1,即m=(n﹣)2﹣
,
∵0≤n≤4,
当n=上,M最小值=﹣
,n=4时,M最小值=5,
综上,m的取值范围为:﹣≤m≤5.

【题目】某书店同时购进九年级数学,语文两种辅导书共册,其进价和售价如下表所示:
数学 | 语文 | |
进价(元/册) | ||
售价(元/册) |
设购进语文辅导书册.
已知当该书店购进数学辅导书的数量是语文辅导书的
倍时,恰好用去
元,求
的值.
若设该书店售完这
册辅导书的总利润为
元.
①求与
之间的函数关系式;
②该书店计划最多投入元用于购买这两种辅导书,则至少要购进多少册语文辅导书?书店可获得的最大利润是多少?
【题目】为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况,随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查,已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同,利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表:
睡眠情况分段情况如下
组别 | 睡眠时间x(小时) |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)直接写出统计图中的值 ;
(Ⅱ)睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足,则从该校八、九年级各随机抽一名学生,被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大?