题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.

【答案】
(1)解:如图所示,作AE⊥OB于E,

∵A(4,4),

∴OE=4,

∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,

∴OE=EB=4,

∴OB=8,

∴B(8,0)


(2)解:方法一:如图所示,作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,

∵△ACD为等腰直角三角形,

∴AC=DC,∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°,

∵∠FDC+∠DCF=90°,

∴∠ACF=∠FDC,

又∵∠DFC=∠AEC=90°,

∴△DFC≌△CEA(AAS),

∴EC=DF,FC=AE,

∵A(4,4),

∴AE=OE=4,

∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,

∴OF=CE,

∴OF=DF,

∴∠DOF=45°,

∵△AOB为等腰直角三角形,

∴∠AOB=45°,

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;

方法二:如图所示,过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K,

则△OCK为等腰直角三角形,OC=CK,∠K=45°,

又∵△ACD为等腰Rt△,

∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO,AC=DC,

∴△ACK≌△DCO(SAS),

∴∠DOC=∠K=45°,

∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°


(3)解:AM=FM+OF成立,理由:

方法一:如图所示,在AM上截取AN=OF,连EN.

∵A(4,4),

∴AE=OE=4,

又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,

∴△EAN≌△EOF(SAS),

∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,

又∵△EGH为等腰直角三角形,

∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°,

∴∠NEM=45°=∠FEM,

又∵EM=EM,

∴△NEM≌△FEM(SAS),

∴MN=MF,

∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN,

∴AM﹣MF=OF,

即AM=FM+OF;

方法二:如图所示,在x轴的负半轴上截取ON=AM,连EN,MN,

则△EAM≌△EON(SAS),

∴EN=EM,∠NEO=∠MEA,

即∠NEF+∠FEO=∠MEA,

而∠MEA+∠MEO=90°,

∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°,

而∠FEO+∠MEO=45°,

∴∠NEF=45°=∠MEF,

∴△NEF≌△MEF(SAS),

∴NF=MF,

∴AM=OF=OF+NF=OF+MF,

即AM=FM+OF.


【解析】(1)因为△AOB为等腰直角三角形,A(4,4),作AE⊥OB于E,则B点坐标可求;(2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,求证△DFC≌△CEA,再根据等量变换,即可求出∠AOD的度数可求;(3)在AM上截取AN=OF,连EN,易证△EAN≌△EOF,再根据角与角之间的关系,证明△NEM≌△FEM,则有AM﹣MF=OF,即可求证等式成立.
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°即可以解答此题.

练习册系列答案
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【题目】设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.

(1)阅读填空

如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.

理由:连接AH,EH.

∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°.

∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽

,即DH2=AD×DE.

又∵DE=DC

∴DH2= ,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.

(2)操作实践

平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.

如图②,请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).

(3)解决问题三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的 (填写图形名称),再转化为等积的正方形.

如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).

(4)拓展探究

n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.

如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).

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