题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.
【答案】
(1)解:如图所示,作AE⊥OB于E,
∵A(4,4),
∴OE=4,
∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,
∴OE=EB=4,
∴OB=8,
∴B(8,0)
(2)解:方法一:如图所示,作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
又∵∠DFC=∠AEC=90°,
∴△DFC≌△CEA(AAS),
∴EC=DF,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°,
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;
方法二:如图所示,过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K,
则△OCK为等腰直角三角形,OC=CK,∠K=45°,
又∵△ACD为等腰Rt△,
∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO,AC=DC,
∴△ACK≌△DCO(SAS),
∴∠DOC=∠K=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°
(3)解:AM=FM+OF成立,理由:
方法一:如图所示,在AM上截取AN=OF,连EN.
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,
∴△EAN≌△EOF(SAS),
∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,
又∵△EGH为等腰直角三角形,
∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°,
∴∠NEM=45°=∠FEM,
又∵EM=EM,
∴△NEM≌△FEM(SAS),
∴MN=MF,
∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN,
∴AM﹣MF=OF,
即AM=FM+OF;
方法二:如图所示,在x轴的负半轴上截取ON=AM,连EN,MN,
则△EAM≌△EON(SAS),
∴EN=EM,∠NEO=∠MEA,
即∠NEF+∠FEO=∠MEA,
而∠MEA+∠MEO=90°,
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°,
而∠FEO+∠MEO=45°,
∴∠NEF=45°=∠MEF,
∴△NEF≌△MEF(SAS),
∴NF=MF,
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF,
即AM=FM+OF.
【解析】(1)因为△AOB为等腰直角三角形,A(4,4),作AE⊥OB于E,则B点坐标可求;(2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,求证△DFC≌△CEA,再根据等量变换,即可求出∠AOD的度数可求;(3)在AM上截取AN=OF,连EN,易证△EAN≌△EOF,再根据角与角之间的关系,证明△NEM≌△FEM,则有AM﹣MF=OF,即可求证等式成立.
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°即可以解答此题.