Question

如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？

Answer 1

（1）；（2）2，1；（3）或

试题分析：（1）设直线AC的解析式为由图象经过G(0，6)、C（3，0）两点根据待定系数法求解即可；
（2）先求得点A的坐标，由AP=CQ=t，可得点P（1，4-t）.将y=4–t代入中，得点E的横坐标为x=. 即得点E到CD的距离为，再根据三角形的面积公式及二次函数的性质求解即可；
（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．分当点H在点E的下方时，当点H在点E的上方时，根据菱形的性质及勾股定理求解即可.
（1）设直线AC的解析式为
∵直线AC经过G(0，6)、C（3，0）两点，
∴ 解得 
∴直线AC的解析式为；
（2）在中，当x=1时，y="4." ∴A（1，4）.
∵AP=CQ=t，
∴点P（1，4-t）.
将y=4–t代入中，得点E的横坐标为x=.
∴点E到CD的距离为.
∴S_△CQE===
∴当t=2时，S_△CQE最大，最大值为1；
（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．

当点H在点E的下方时，连结CH.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵四边形CQEH为菱形，
∴.
在Rt△HMC中，由勾股定理得.
∴.
整理得.
解得，（舍）.
∴当时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形.
当点H在点E的上方时，同理可得当时. 以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形.
∴t的值是或.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.