题目内容
如图,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1),过点P(p,p-1)(p>1)作x轴的平行线分别交曲线y=
(x>0)和y=-
(x<0)于M,N
两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
(1)∵点B(2,1)在双曲线y=上,
∴,得m=2.
设直线l的解析式为y=kx+b
∵直线l过A(1,0)和B(2,1)
∴,解得
∴直线l的解析式为y=x-1.
(2) 证明:当x=p时,y=p-1,点P(p,p-1)(p>1)
在直线l上,如图.
∵P(p,p-1)(p>1)在直线y=2上,
∴p-1=2,解得p=3
∴P(3,2)
∵PN∥x轴,∴P、M、N的纵坐标都等于2
把y=2分别代入双曲线y=和y=
,得M(1,2),N(-1,2)
∴,即M是PN的中点,
同理:B是PA的中点,
∴BM∥AN
∴△PMB∽△PNA.
(3)由于PN∥x轴,P(p,p-1)(p>1),
∴M、N、P的纵坐标都是p-1(p>1)
把y=p-1分别代入双曲线y=(x>0)和y=-
(x<0),
得M的横坐标x=和N的横坐标x=-
(其中p>1)
∵S△AMN=4S△APM且P、M、N在同一直线上,
∴,得MN=4PM
即=4(p-
),整理得:p2-p-3=0,
解得:p=
由于p>1,∴负值舍去
∴p=
经检验p=是原题的解,
∴存在实数p,使得S△AMN=4S△APM,
p的值为.

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