题目内容

如图,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1),过点P(p,p-1)(p>1)作x轴的平行线分别交曲线y=(x>0)和y=-(x<0)于M,N两点.

(1)求m的值及直线l的解析式;

(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;

(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.

(1)∵点B(2,1)在双曲线y=上,

,得m=2.

设直线l的解析式为y=kx+b

∵直线l过A(1,0)和B(2,1)

,解得

∴直线l的解析式为y=x-1.

(2) 证明:当x=p时,y=p-1,点P(p,p-1)(p>1)

在直线l上,如图.

∵P(p,p-1)(p>1)在直线y=2上,

∴p-1=2,解得p=3

∴P(3,2)

∵PN∥x轴,∴P、M、N的纵坐标都等于2

把y=2分别代入双曲线y=和y=,得M(1,2),N(-1,2)

,即M是PN的中点,

同理:B是PA的中点,

∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

(3)由于PN∥x轴,P(p,p-1)(p>1),

              ∴M、N、P的纵坐标都是p-1(p>1)

              把y=p-1分别代入双曲线y=(x>0)和y=-(x<0),

得M的横坐标x=和N的横坐标x=-(其中p>1)

∵S△AMN=4S△APM且P、M、N在同一直线上,

,得MN=4PM

=4(p-),整理得:p2-p-3=0,

解得:p=

由于p>1,∴负值舍去

∴p=

经检验p=是原题的解,

∴存在实数p,使得S△AMN=4S△APM,

p的值为.

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