题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+x+3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________

【答案】12

【解析】

根据题意求得A,P的坐标,再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形,以及A′,P的坐标,然后求得AD,PP′的长,再求出面积即可.

如图,连接AP,AP′,过点AAD⊥PP′D点,

由题意可得,四边形APP′A′为平行四边形,

x=0代入函数得y=3,

∴点A的坐标为(0,3),

又∵抛物线y=x2+x+3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2,

∴顶点P的坐标为(﹣2,2),

将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位

A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),

∴PP′==4,A0=3,∠AOP=45°,

∴△AOD为等腰直角三角形,

∴AD=OD,

Rt△AOD中,AD2+OD2=9,即2AD2=9,

∴AD=

则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为4×=12.

故答案为12.

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