题目内容

【题目】附加题:如图,已知在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点,点P在线段BC上由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.

(1)如果点P、Q的速度均为3厘米/秒,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;
(2)若点P的运动速度为2厘米/秒,点Q的运动速度为2.5厘米/秒,是否存在某一个时刻,使得△BPD与△CQP全等?如果存在请求出这一时刻并证明;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:△BPD与△CQP是全等,

理由是:当t=1秒时BP=CQ=3,

CP=8﹣3=5,

∵D为AB中点,

∴BD= AC=5=CP,

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

在△BDP和△CPQ中

∴△BDP≌△CPQ(SAS)


(2)解:假设存在时间t秒,使△BDP和△CPQ全等,

则BP=2t,BD=5,CP=8﹣2t,CQ=2.5t,

∵△BDP和△CPQ全等,∠B=∠C,

(此方程组无解),

解得:t=2,

∴存在时刻t=2秒时,△BDP和△CPQ全等,

此时BP=4,BD=5,CP=8﹣4=4=BP,CQ=5=BD,

在△BDP和△CQP中

∴△BDP≌△CQP(SAS).


【解析】(1)求出BP=CQ,CP=BD,∠B=∠C,根据SAS证出两三角形全等即可;(2)假设存在时刻t,根据全等三角形的性质得出方程组,求出t后,看看是否符合题意,再根据全等三角形的判定推出即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)).

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