题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直径.
【答案】(1)BD与⊙O相切;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°,即可证明BD是⊙O的切线;
(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5,由两角相等的三角形相似,△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.
试题解析:(1)BD与⊙O相切.证明如下:
连接OB,∵OB=OA,DE=DB,∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,∴∠OBA+∠ABD=90°,∴OB⊥BD,∴BD是⊙O的切线;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,∵DE=DB,∴EG=BE=5,∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,∴∠GDE=∠A,∴△ACE∽△DGE,∴sin∠EDG=sinA=,即CE=13,在Rt△EDG中,∵DG==12,∵CD=15,DE=13,∴DE=2,∵△ACE∽△DGE,∴,∴AC=DG=,∴⊙O的直径2OA=4AC=.
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