题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.

(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直径.

【答案】(1)BD⊙O相切;(2)

【解析】

试题分析:(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°,即可证明BD是⊙O的切线;

(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5,由两角相等的三角形相似,△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.

试题解析:(1)BD⊙O相切.证明如下

连接OB,OB=OA,DE=DB,∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,又CD⊥OA,∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,∠OBA+∠ABD=90°,OB⊥BD,BD是⊙O的切线;

(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,DE=DB,EG=BE=5,∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,∠GDE=∠A,△ACE∽△DGE,sin∠EDG=sinA=,即CE=13,在Rt△EDG中,DG==12,CD=15,DE=13,DE=2,△ACE∽△DGE,AC=DG=⊙O的直径2OA=4AC=

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