Question

已知：抛物线y=x²-（2a+1）x+2a
（Ⅰ）当抛物线经过点（3，2）时，①求x的值；②求抛物线与x轴交点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两旁，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线不经过第三象限，且当x＞2时，函数值x随x的增大而增大，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①把点（3，2）代入求出即可；②把a=1代入y=x²-3x+2得到方程求出方程的解即可；
（Ⅱ）根据抛物线y=x²-（2a+1）x+2a与x轴的两个不同交点，求出△=（2a-1）²＞0．得出a≠

1

2

，根据抛物线y=x²-（2a+1）x+2a与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
且抛物线开口向上，得出2²-（2a+1）×2+2a＜0，求出即可；
（Ⅲ）由已知得到-

-(2a+1)

2

≤2，求出a≤

3

2

．根据抛物线开口向上，且不经过第三象限，得出-

-(2a+1)

2

≥0，且2a≥0，求出不等式的解即可．

解答：解：（Ⅰ）①把点（3，2）代入y=x²-（2a+1）x+2a得：2=3²-（2a+1）×3+2a，
∴a=1，
答：a的值是1．

解：②把a=1代入y=x²-3x+2得：x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0），
答：抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0）．

解：（Ⅱ）∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a与x轴的两个不同交点，
∴△=[-（2a+1）]²-4×1×2a=（2a-1）²＞0．
∴a≠

1

2

，
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
且抛物线开口向上，
∴2²-（2a+1）×2+2a＜0，
解得：a＞1，
答：实数a的取值范围是a＞1．

（Ⅲ）解：∵当x＞2时，抛物线满足y随x的增大而增大，
∴-

-(2a+1)

2

≤2，
解得a≤

3

2

．
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴-

-(2a+1)

2

≥0，且2a≥0，
解得a≥0，
∴0≤a≤

3

2

，
答：实数a的取值范围是0≤a≤

3

2

．

点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，解一元一次不等式，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．