题目内容

【题目】如图,在四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,…,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是(  )

①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7的周长为;④四边形AnBnCnDn的面积为.

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】A

【解析】①连接A1C1B1D1

∵在四边形ABCD中,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1

A1D1BDB1C1BDC1D1ACA1B1AC

A1D1B1C1A1B1C1D1

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形;

ACBD

A1B1A1D1

∴四边形A1B1C1D1是矩形,

B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等);

A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理),

∴四边形A2B2C2D2是菱形;

∴四边形A3B3C3D3是矩形;

∴根据中位线定理知,四边形A4B4C4D4是菱形;

故①②正确;

③根据中位线的性质易知,A7B7A5B5=A3B3=A1B1=AC,B7C7=B5C5=B3C3=B1C1=BD,

∴四边形A7B7C7D7的周长是a+b)=

故③正确;

④∵四边形ABCD中,AC=aBD=b,且ACBD

∴S四边形ABCD=ab÷2;

由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,

四边形AnBnCnDn的面积是

故④错误;

综上所述,①②③正确.

故选A.

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