题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,…,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是( )
①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7的周长为;④四边形AnBnCnDn的面积为.
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】①连接A1C1,B1D1.
∵在四边形ABCD中,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,
∴A1D1∥BD,B1C1∥BD,C1D1∥AC,A1B1∥AC;
∴A1D1∥B1C1,A1B1∥C1D1,
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形;
∵AC丄BD,
∴A1B1丄A1D1,
∴四边形A1B1C1D1是矩形,
∴B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等);
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理),
∴四边形A2B2C2D2是菱形;
∴四边形A3B3C3D3是矩形;
∴根据中位线定理知,四边形A4B4C4D4是菱形;
故①②正确;
③根据中位线的性质易知,A7B7═A5B5=A3B3=A1B1=AC,B7C7=B5C5=B3C3=B1C1=BD,
∴四边形A7B7C7D7的周长是2×(a+b)=,
故③正确;
④∵四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,
∴S四边形ABCD=ab÷2;
由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,
四边形AnBnCnDn的面积是 ,
故④错误;
综上所述,①②③正确.
故选A.
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