题目内容
【题目】如图,点A(﹣10,0),B(﹣6,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°.点P从点Q(8,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,运动时间为t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°,求t的值;
(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
【答案】(1)C(0,6);(2)t的值为8+2或8+6.(3)t的值为2或8或11.2.
【解析】
试题分析:(1)由点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,易得∠BCO=∠CBO=45°,则可求得OC=OB=6,即可求得答案;
(2)分别从当点P在点B右侧与左侧时去分析求解,借助于三角函数的知识,即可求得答案;
(3)分别从当⊙P与BC相切于点C时,则∠BCP=90°,当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,当⊙P与AD相切时,由题意得:∠DAO=90°,去分析求解即可求得答案.
解:(1)∵∠BOC=90°,∠CBO=45°,
∴∠BCO=∠CBO=45°,
∵B(﹣6,0),
∴OC=OB=6,
又∵点C在y轴的正半轴上,
∴C(0,6);
(2)①当点P在点B右侧时,
∵∠BCO=45°,∠BCP=15°,
∴∠POC=30°,
∴OP=OCtan∠POC=6×=2,
∴t1=8+2,
②当点P在点B左侧时,
∵∠BCO=45°,∠BCP=15°,
∴∠POC=60°,
∴OP=OCtan∠POC=6×=6,
∴t2=8+6,
综上所述:t的值为8+2或8+6.
(3)由题意知:若⊙P与四边形ABCD的边都相切,有以下三种情况:
①当⊙P与BC相切于点C时,则∠BCP=90°,
∵∠OCB=45°,
∴∠OCP=45°,
∴OP=OB=6,
此时t1=8﹣6=2;
②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,
此时t2=8;
③当⊙P与AD相切时,由题意得:∠DAO=90°,
∴点A为切点,
设OP=x,则PA=PC=10﹣x,
∴62+x2=(10﹣x)2,
∴x=3.2,
∴OP=3.2,
∴t3=8+3.2=11.2;
综上所述:t的值为2或8或11.2.
【题目】毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究:
名称及图形 几何点数 层数 | 三角形数 | 正方形数 | 五边形数 | 六边形数 |
第一层几何点数 | 1 | 1 | 1 | 1 |
第二层几何点数 | 2 | 3 | 4 | 5 |
第三层几何点数 | 3 | 5 | 7 | 9 |
… | … | … | … | … |
第六层几何点数 |
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… | … | … | … | … |
第n层几何点数 |
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请写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n层各个图形的几何点数.