题目内容

如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（-2，0）和点C（0，-8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为______；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S₀是②中函数S的最大值，直接写出S₀的值．

解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-6）
∵图象过点（0，-8）
∴a= $\text{[math]}$
∴二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-8；

（2）∵y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-8= $\text{[math]}$ （x²-4x+4-4）-8= $\text{[math]}$ （x-2）²- $\text{[math]}$
∴点M的坐标为（2，- $\text{[math]}$ ）
∵点C的坐标为（0，-8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）
∴直线C′M的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+8
令y=0
得- $\text{[math]}$ x+8=0
解得：x= $\text{[math]}$
∴点K的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴ $\text{[math]}$
∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴ $\text{[math]}$

∴t= $\text{[math]}$
∵t= $\text{[math]}$ ＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情况讨论如下，
情况1：0≤t≤1
S= $\text{[math]}$ OP•OQ= $\text{[math]}$ ×3t×8t=12t²；
情况2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足为E，
S= $\text{[math]}$ OP•EQ= $\text{[math]}$ ×3t× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
情况3：2＜t＜ $\text{[math]}$
作OF⊥AC，垂足为F，则OF= $\text{[math]}$
S= $\text{[math]}$ QP•OF= $\text{[math]}$ ×（24-11t）× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；
③当0≤t≤1时，S=12t²，函数的最大值是12；
当1＜t≤2时，S=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，函数的最大值是 $\text{[math]}$ ；
当2＜t＜ $\text{[math]}$ ，S= $\text{[math]}$ QP•OF=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，函数的最大值为 $\text{[math]}$ ；
∴S₀的值为 $\text{[math]}$ ．

分析：（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；
（3）（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当E在OC上，D在OA上，即当0≤t≤1时，此时S= $\text{[math]}$ OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= $\text{[math]}$ OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜ $\text{[math]}$ 相遇时用的时间，此时S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．