题目内容

【题目】如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是

【答案】﹣2<k<
【解析】解:由图可知,∠AOB=45°, ∴直线OA的解析式为y=x,
联立 消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k= 时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为( ),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时, ×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k<
故答案为:﹣2<k<
根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式,然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值,即为一个交点时的最大值,再求出抛物线经过点B时的k的值,即为一个交点时的最小值,然后写出k的取值范围即可.

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