题目内容
在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为
- A.2
- B.3
- C.4
- D.5
D
分析：欲求这样的点P，根据三角形面积公式，利用同底等高的面积相等即可求出这样的点，如下图所示．
解答：
解：①做AB的中垂线DH，做直线BE，两线交于Q，
根据利用等底同高的面积相等，S△QCD=S△BCD，
∵Q在AB的中垂线上，
∴BQ=AQ，
则：Q点符合要求；
②在CD的另一侧AB垂直平分线上可以找到一个到CD的距离等于B到CD的距离相等的点M
S△MCD=S△BCD，MA=MB
则：M点符合要求；
③以B为圆心，以BA为半径画弧交直线BE于S、F，
S△SCD=S△BCD，S△BCD=S△FCD，AB=BS=BF
则：点S、F符合要求；
④点E也符合要求：因为S△BCD=S△ECD且AE=AB；
综上可得，点S、E、M、Q、F即为所求的点P的位置．
故有5个这样的点P．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形面积的相等，等底等高的面积相等，平行线的作法，平行线之间的距离等知识点，解此题的关键是分析讨论出所有情况．具有一定的难度．
分析：欲求这样的点P，根据三角形面积公式，利用同底等高的面积相等即可求出这样的点，如下图所示．
解答：
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∵Q在AB的中垂线上，
∴BQ=AQ，
则：Q点符合要求；
②在CD的另一侧AB垂直平分线上可以找到一个到CD的距离等于B到CD的距离相等的点M
S△MCD=S△BCD，MA=MB
则：M点符合要求；
③以B为圆心，以BA为半径画弧交直线BE于S、F，
S△SCD=S△BCD，S△BCD=S△FCD，AB=BS=BF
则：点S、F符合要求；
④点E也符合要求：因为S△BCD=S△ECD且AE=AB；
综上可得，点S、E、M、Q、F即为所求的点P的位置．
故有5个这样的点P．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形面积的相等，等底等高的面积相等，平行线的作法，平行线之间的距离等知识点，解此题的关键是分析讨论出所有情况．具有一定的难度．
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