Question

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若，则<x>＝n，如<0.46>=0，<3.67>=4。给出下列关于<x>的结论：
①<1.493>=1；
②<2x>=2<x>；
③若，则实数x的取值范围是；
④当x≥0，m为非负整数时，有；
⑤。
其中，正确的结论有   　（填写所有正确的序号）。

Answer 1

①③④。

①根据定义，∵，∴<1.493>=1。结论正确。
②用特例反证：∵<1.3>=1，<2×1.3>=<2.6>=3，∴<2×1.3>≠2<1.3>。
∴<2x>=2<x>不一定成立。结论错误。
③若，则。
∴实数x的取值范围是。结论正确。
④设2013x＝k＋b，k为2013x的整数部分，b为其小数部分，
1）当0≤b＜时，<2013x>＝k，
m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋2013x的整数部分，b为其小数部分，< m＋2013x>＝m＋k，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>。
2）当b≥时，<2013x>＝k＋1，
则m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋2013x的整数部分，b为其小数部分，< m＋2013x >＝m＋k＋1，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>
综上：当x≥0，m为非负整数时，< m＋2013x >＝m＋<2013x>成立。结论正确。
⑤用特例反证：：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，
∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。∴不一定成立。结论错误。
综上所述，正确的结论有①③④。