题目内容

已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC =" 8" cm,BC =" 6" cm,EF =" 9" cm。
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5)。解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由。
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由。(图(3)供同学们做题使用)

(1)2;(2),当t=3时,y最小=.(3)1s.

解析试题分析:(1)因为点A在线段PQ垂直平分线上,所以得到线段相等,可得CE=CQ,用含t的式子表示出这两个线段即可得解;
(2)作PM⊥BC,将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解;
(3)假设存在符合条件的t值,由相似三角形的性质即可求得.
(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP=AQ.
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,
∴∠EQC=45°.
∴∠DEF=∠EQC.
∴CE=CQ.
由题意知:CE=t,BP=2t,           
∴CQ =t.
∴AQ=8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB="10cm" .
则AP=10-2t.
∴10-2t=8-t.
解得:t=2.
答:当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上.
(2)过P作PM⊥BE,交BE于M,

.
在Rt△ABC和Rt△BPM中,
. 
∴PM=.
∵BC=6cm,CE=t, 
∴BE=6-t.
∴y = SABC-SBPE =
=
=.

∴抛物线开口向上.
∴当t=3时,y最小=.
答:当t=3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作PN⊥AC,交AC于N,
.

∴△PAN ∽△BAC.
.
.
.
∵NQ=AQ-AN,
∴NQ=8-t-() =
∵∠ACB=90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF=90°,∠QCF =∠PNQ.
∵∠FQC =∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .


   

解得:t=1.
答:当t=1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.  
考点:1.二次函数的最值;2.线段垂直平分线的性质;3.勾股定理;4.相似三角形的判定与性质.

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