Question

如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°．

（1）①求证：BE+DF=EF；
②运用①的结论解决下面问题：如图2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面积；
（2）在图1中，对角线AC、BD相交于点O，BD与CF分别交于点N，连接EN得到图3．当∠ECF绕点C旋转时，△ECN是什么特殊的三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDG，根据旋转的性质可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，然后求出∠FCG=45°，从而得到∠ECF=∠FCG，再利用“边角边”证明△ECF和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，再求出GF=BE+DF即可得证；
②设正方形ABCD的边长为x，表示出AE，再根据①的结论表示出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可得到x的值，再求出AF，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EBN=∠CBD=45°，然后求出B、C、E、N四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CEN=∠CBD=45°，根据三角形内角和定理求出∠CNE=90°，从而得到△ECN是等腰直角三角形．

解答：（1）①证明：如图，把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDG，
由旋转的性质可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠BCE=∠BCD-∠ECF=90°-45°=45°，
∴∠ECF=∠FCG，
在△ECF和△GCF中，

CE=CG ∠ECF=∠FCG CF=CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

②解：设正方形ABCD的边长为x，
∵BE=1.5，
∴AE=x-1.5，
∵EF=2.5，
∴AF=x-（EF-BE）=x-（2.5-1.5）=x-1，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（x-1.5）²+（x-1）²=2.5²，
整理得，2x²-5x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-

1

2

（舍去），
所以，AF=3-1=2，
梯形ABCF的面积=

1

2

×（2+3）×3=

15

2

；

（2）△ECN是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，∠EBN=∠CBD=45°，
又∵∠ECF=45°，
∴∠ECN=∠ECF，
∴B、C、E、N四点共圆，
∴∠CEN=∠CBD=45°，
∴∠CEN=∠ECN=45°，
在△CEN中，∠CNE=180°-∠CEN-∠ECN=180°-45°-45°=90°，
∴△ECN是等腰直角三角形．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（2）利用四点共圆求解更加简便．