题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴正半轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线OA'交于点F．
（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标；
（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式；
（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点O′的坐标为（5，5
）．（2）直线O′A的解析式为y=
x﹣
．（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，
）或（0，
）．
【解析】
试题分析：（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，根据AO=AO′，∠O′AO=2∠OPA=60°，即可得出△O′AO是等边三角形，再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标；
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b，根据勾股定理可得出BO′的长度，再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑，由此即可得出点O′的坐标，结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式；
（3）假设存在，设点P（0，m），根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论．根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似，再根据相似三角形的性质（或等角的三角函数值相等）找出边与边之间的关系，由此即可列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
解：（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，如图1所示．
∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，
∴△O′AO是等边三角形，
∵点A的坐标为（10，0），
∴OA=10，OG=
OA=5，O′G=
OA=5，
∴点O′的坐标为（5，5）．
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b．
在Rt△ABO′中，AO′=10，AB=8，
∴BO′═6，
①当O′在线段BC上时，CO′=10﹣6=4，
∴点O′的坐标为（4，8），
则有
，解得：
，
∴此时直线O′A的解析式为y=﹣
x+
；
②当O′在CB延长线上时，CO′=10+6=16，
∴点O′的坐标为（16，8），
则有
，解得：
∴此时直线O′A的解析式为y=x﹣．
（3）假设存在，由点O′的位置不同分两种情况：
①当点O′在BC的上方时，设点P（0，m），过点O′作O′G⊥OA于点G，过点P作PQ⊥O′G于点Q，如图2所示．
∵OP=CF，
∴BF=BC﹣CF=10﹣m，
∵点C（0，8），
∴AB=OC=8．
在Rt△ABF中，AB=8，BF=10﹣m，
∴AF=
=
．
∵O′G⊥x轴，AB⊥OA，
∴O′G∥AB，
∴△O′GA∽△ABF，
∴
，
∴O′G=
，AG=
，
∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m，PQ=OA﹣AG=10﹣．
∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°，∠PO′Q+∠AO′G=90°，
∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB，
∴
，
∴PQ=
=10﹣
，
解得：m1=
，m2=10，
经检验m1=是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，）；
②当点O′在BC的下方时，设AF与y轴的交点为M，如图3所示．
设点P（0，m），则CF=OP=m，
BF=10+m，AB=8，OA=10，AF=
=
．
∵BC∥AO，
∴∠AFB=∠MAO，
∴
，
∴OM=
，
∴PM=OM﹣OP=﹣m，
∵∠MPO′与∠AMO互余，
∴∠MPO′=∠AFB，
∴
，即
，
解得：m3=
，m4=﹣10（舍去），
经检验m3=是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，）．
综上可知：当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，）或（0，）．
