Question

【题目】正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：△ABM∽△MCN；

（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）要证三角形ABM∽MCN，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似；（2）由△ABM∽△MCN，得出对应边成比例，求出MC、BM，即可求出NC；

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为4，

∴AB=BC=4，∠B=∠C=90°，

∵AM和MN垂直，

∴∠AMN=90°，

∴∠BAM+∠AMB=90°，∠NMC+∠BMA=180°﹣90°=90°，

∴∠BAM=∠NMC，

∵∠B=∠C，

∴△ABM∽△MCN；

（2）解：∵△ABM∽△MCN，

∴，

∵△ABM∽△MCN，△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，

∴△ABM的周长与△MCN边长之比也是4：3，

∴，

∵AB=4，

∴，

∴CM=3，

∴BM=4﹣3=1，

∴，

∴NC=．