题目内容
【题目】如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)存在,P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,);(3)当a=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为,此时,点E坐标为(-,).
【解析】
(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:
①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作PQ⊥y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长,可根据M的坐标得出,CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.
②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).
③当CM=CP时,因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;
(3)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在△BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),
∴
解得:.
∴所求抛物线解析式为:y=x22x+3;
(2)∵抛物线解析式为:y=x22x+3,
∴其对称轴为,
∴设P点坐标为(1,a),当x=0时,y=3,
∴C(0,3),M(1,0)
∴当CP=PM时,(1)2+(3a)2=a2,解得a=,
∴P点坐标为:;
∴当CM=PM时,(1)2+32=a2,解得,
∴P点坐标为:或;
∴当CM=CP时,由勾股定理得:(1)2+32=(1)2+(3a)2,解得a=6,
∴P点坐标为:P4 (1,6).
综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(1,6)或;
(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,a22a+3)(3<a<0)
∴EF=a22a+3,BF=a+3,OF=a
∴
∴当a=时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时,点E坐标为.