题目内容

【题目】如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3a0)与x轴交于点A10)和点B-30),与y轴交于点C

1)求抛物线的解析式;
2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BECE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)存在,P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,);(3)当a=-时,S四边形BOCE最大,且最大值为,此时,点E坐标为(-).

【解析】

1)已知抛物线过AB两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;

2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(03),根据MC的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:

①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过PPQy轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQCP=xOM的长,可根据M的坐标得出,CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.

②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).

③当CM=CP时,因为C的坐标为(03),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;

3)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过EEFx轴于FS四边形BOCE=SBFE+S梯形FOCE.直角梯形FOCE中,FOE的横坐标的绝对值,EFE的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在△BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.

(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a0)x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)

解得:.

∴所求抛物线解析式为:y=x22x+3

(2)∵抛物线解析式为:y=x22x+3

∴其对称轴为

∴设P点坐标为(1,a),当x=0时,y=3

C(0,3),M(1,0)

∴当CP=PM,(1)2+(3a)2=a2,解得a=

∴P点坐标为:

∴当CM=PM,(1)2+32=a2,解得

P点坐标为:

∴当CM=CP,由勾股定理得:(1)2+32=(1)2+(3a)2,解得a=6

P点坐标为:P4 (1,6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为 P(1,6)

(3)过点EEFx轴于点F,E(a,a22a+3)(3<a<0)

EF=a22a+3BF=a+3OF=a

∴当a=,S四边形BOCE最大,且最大值为.

此时,E坐标为.

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