题目内容

【题目】如图,直线y1=﹣ x+2与x轴,y轴分别交于B,C,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C,点A坐标为(﹣1,0).

(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,连接CD,点P是直线BC上方抛物线上的一动点(不与B,C重合),当点P运动到何处时,四边形PCDB的面积最大?求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标;
(3)在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q,使△QCD是以CD为腰的等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:令x=0,可得y=2,

令y=0,可得x=4,

即点B(4,0),C(0,2);

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

将点A、B、C的坐标代入解析式得,

解得:

即该二次函数的关系式为y=﹣ x2+ x+2;


(2)

解:如图1,过点P作PN⊥x轴于点N,交BC于点M,过点C作CE⊥PN于E,

设M(a,﹣ a+2),P(a,﹣ a2+ a+2),

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣(﹣ a+2)=﹣ a2+2a(0≤x≤4).

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ 2+

∴点D的坐标为:( ,0),

∵S四边形PCDB=SBCD+SCPM+SPMB= BDOC+ PMCE+ PMBN,

= + a(﹣ a2+2a)+ (4﹣a)(﹣ a2+2a),

=﹣a2+4a+ (0≤x≤4).

=﹣(a﹣2)2+

∴a=2时,S四边形PCDB的面积最大=

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3,

∴点P坐标为:(2,3),

∴当点P运动到(2,3)时,四边形PCDB的面积最大,最大值为


(3)

解:如图2,∵抛物线的对称轴是x=

∴OD=

∵C(0,2),

∴OC=2.

在Rt△OCD中,由勾股定理,得

CD=

∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形,

∴CQ1=DQ2=DQ3=CD.

如图2所示,作CE⊥对称轴于E,

∴EQ1=ED=2,

∴DQ1=4.

∴Q1 ,4),Q2 ),Q3 ,﹣ ).


【解析】(1)分别令解析式y=﹣ x+2中x=0和y=0,求出点B、点C的坐标;设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式,求出a、b、c的值,进而求得解析式;(2)设出M点的坐标为(a,﹣ a+2),就可以表示出P的坐标,由四边形PCDB的面积=SBCD+SCPM+SPMB求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论;(3)由(2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于Q1 , 以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点Q2 , Q3 , 作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论.
【考点精析】利用二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案,需要熟知二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点.

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