题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A30),B0.4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD.记旋转角为α∠ABOβ

I )如图,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;

II)如图,当旋转后满足BC∥x轴时,求αβ之间的数量关系:

III)当旋转后满足∠AOD=β时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).

【答案】1)() (2α=2β 3y=x﹣4

【解析】

试题(1A30),B04),得OA=3OB=4

Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5

根据题意,有DA=OA=3

如图,过点DDM⊥x轴于点M

MD∥OB

∴△ADM∽△ABO.有

∴OM=

D的坐标为().

2)如图,由已知,得∠CAB=αAC=AB

∴∠ABC=∠ACB

△ABC中,

∴α=180°﹣2∠ABC

∵BC∥x轴,得∠OBC=90°

∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β

∴α=2β

3)若顺时针旋转,如图,过点DDE⊥OAE,过点CCF⊥OAF

∵∠AOD=∠ABO=β

∴tan∠AOD==

DE=3xOE=4x

AE=4x﹣3

Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2

∴9=9x2+4x﹣32

∴x=

∴D),

直线AD的解析式为:y=x﹣

直线CD与直线AD垂直,且过点D

y=﹣x+b,把D)代入得,=﹣×+b

解得b=4

互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1

直线CD的解析式为y=﹣

同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4

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