题目内容

如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.
(1)当t=    时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.
(1)1秒
(2)
(3)t的值为(8﹣2

试题分析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值;
(2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解;
(3)由已知可得ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值.
试题解析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,
∴AB=AQ,即3=4﹣t,
∴t=1.
即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.
(2)①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示.

设PR交BC于点G,
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC
=8×3﹣(2t+2t+3)×3
=﹣6t+
②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示.

设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T.
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
QD=t,则AQ=AT=4﹣t,
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST
=8×3﹣(2t+2t+3)×3﹣(t﹣1)2
=﹣t2﹣5t+19;
③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示.

设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t.
PQ=12﹣3t,∴PR=RQ=(12﹣3t).
S=S△PQR﹣S△AQT
=PR2AQ2
=(12﹣3t)2(4﹣t)2
=t2﹣14t+28.
综上所述,S关于t的函数关系式为:

(3)∵E(5,0),∴AE=AB=3,
∴四边形ABFE是正方形.
如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合.
∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°,
∴∠BAM′+∠NAB=45°,
∴∠MAN=∠M′AN.
连接MN.在△MAN与△M′AN中,

∴△MAN≌△M′AN(SAS).
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN.

设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n.
在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2
整理得:mn+3(m+n)﹣9=0.  ①
延长MR交x轴于点S,则m=EM=RS=PQ=(12﹣3t),
∵QS=PQ=(12﹣3t),AQ=4﹣t,
∴n=BN=AS=QS﹣AQ=(12﹣3t)﹣(4﹣t)=﹣t+2.
∴m=3n,
代入①式,化简得:n2+4n﹣3=0,
解得n=﹣2+或n=﹣2﹣(舍去)
∴2﹣t=﹣2+
解得:t=8﹣2
∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2)秒.
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