Question

已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；
（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；
（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，令，解出即可求得用含m的代数式表示的A、B两点坐标.
（2）根据等腰三角形的性质，，列式求出m的值即可求得抛物线的解析式.
（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标，应用待定系数法，将交点坐标分别代入一次函数解析式即可求解.
试题解析：（1）令，有．
∴． ∴．
∴，．
∵点B在点A的右侧，∴，．
（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，
∴．∴．∴．
令，有．∴．
∵是等腰三角形，且∠BOC =90°，
∴，即．
∴，解得（舍去）．
∴．
∴抛物线的解析式为．
（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，
由此可得交点坐标为和．
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
得 ， 解得 .
∴一次函数的解析式为．