题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°,以AD为直径作圆O,过点D作DE∥AB交圆O于点E
(1)证明点C在圆O上;
(2)求tan∠CDE的值;
(3)求圆心O到弦ED的距离.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)圆心O到弦ED的距离为.
【解析】
试题分析:(1)如图1,连结CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形,∠C=90°,那么OC为Rt△ACD斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=AD=r,即点C在圆O上;(2)如图2,延长BC、DE交于点F,∠BFD=90°.根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB.在Rt△ABC中,利用正切函数定义求出tan∠ACB==,则tan∠CDE=tan∠ACB=;(3)如图3,连结AE,作OG⊥ED于点G,则OG∥AE,且OG=AE.易证△ABC∽△CFD,根据相似三角形对应边成比例求出CF=,那么BF=BC+CF=.再证明四边形ABFE是矩形,得出AE=BF=,所以OG=AE=.
试题解析:(1)证明:如图1,连结CO.
∵AB=6,BC=8,∠B=90°,
∴AC=10.
又∵CD=24,AD=26,102+242=262,
∴△ACD是直角三角形,∠C=90°.
∵AD为⊙O的直径,
∴AO=OD,OC为Rt△ACD斜边上的中线,
∴OC=AD=r,
∴点C在圆O上;
(2)解:如图2,延长BC、DE交于点F,∠BFD=90°.
∵∠BFD=90°,
∴∠CDE+∠FCD=90°,
又∵∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠FCD=90°,
∴∠CDE=∠ACB.
在Rt△ABC中,tan∠ACB==,
∴tan∠CDE=tan∠ACB=;
(3)解:如图3,连结AE,作OG⊥ED于点G,则OG∥AE,且OG=AE.
易证△ABC∽△CFD,
∴=,即=,
∴CF=,
∴BF=BC+CF=8+=.
∵∠B=∠F=∠AED=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∴AE=BF=,
∴OG=AE=,
即圆心O到弦ED的距离为.