题目内容
【题目】一位同学拿了两块 45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活 动：将△MNK 的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a．
（1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°，得到图 2，此时重叠部分 的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK 绕 M 旋转到不同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此 时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
【答案】(1)4；(2)4；（3）4．
【解析】
试题（1）利用勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质可得CM⊥AB，AM=CM=
AB，然后求解即可；
（2）设MN与AC的交点为D，BC与MK的交点为G，根据旋转角是45°求出∠AMD=45°，然后根据同位角相等，两直线平行求出DM∥BC，从而判定DM是△ABC的中位线，然后求出DM=
BC，同理求出MG=AC，判断出四边形DCGM是正方形，再根据正方形的性质求出面积即可；
（3）过点M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四边形ECMF是正方形，根据正方形的性质可得ME=MF，再根据同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角边角”证明△DME和△GMF全等，根据全等三角形面积相等可得△DME和△GMF的面积相等，然后求出阴影部分的面积等于正方形ECMF的面积，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出ME，然后求解即可．
试题解析：（1）∵AC=BC=4，∴AB=
=
，∵M是AB的中点，∴CM⊥AB，AM=CM=
AB=
，∴阴影部分的面积=AMCM=
；
（2）设MN与AC的交点为D，BC与MK的交点为G，∵旋转角是45°，∴∠AMD=45°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠AMD=∠B=45°，∴DM∥BC，∵M是AB的中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM=BC=×4=2，同理可得，MG=AC=×4=2，∴四边形DCGM是正方形，∴阴影部分的面积=22=4；
（3）如图，过点M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，∵M是等腰直角△ABC斜边AB的中点，∴四边形ECMF是正方形，∴ME=MF，∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，∴∠DME=∠GMF，在△DME和△GMF中，
，∴△DME≌△GMF（ASA），∴S△DME=S△GMF，∴阴影部分的面积=正方形ECMF的面积，∵M是AB的中点，∴ME是△ABC的中位线，∴ME=BC=
×4=2，∴正方形ECMF的面积=22=4，∴阴影部分的面积=4．
