题目内容
【题目】如图,平面直角坐标系中,直线l:y=﹣ x+
分别交x轴,y轴于A,B两点,点C在x轴负半轴上,且∠ACB=30°.
(1)求A,C两点的坐标.
(2)若点M从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,求出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:当x=0时,y= ;当y=0时,x=1.
∴点A坐标为(1,0),点B坐标为(0, ),
在Rt△BOC中,∠OCB=30°,OB= ,
∴BC=2 .
∴OC= =3.
∴点C坐标为(﹣3,0).
(2)解:如图1所示:
∵OA=1,OB= ,AB=2,
∴∠ABO=30°,
同理:BC=2 ,∠OCB=30°,
∴∠OBC=60°,
∴∠ABC=90°,
分两种情况考虑:若M在线段BC上时,BC=2 ,CM=t,可得BM=BC﹣CM=2
﹣t,
此时S△ABM= BMAB=
×(2
﹣t)×2=2
﹣t(0≤t<2
);
若M在BC延长线上时,BC=2 ,CM=t,可得BM=CM﹣BC=t﹣2
,
此时S△ABM= BMAB=
×(t﹣2
)×2=t﹣2
(t≥2
);
综上所述,S= ;
(3)解:P是y轴上的点,在坐标平面内存在点Q,使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形,
如2图所示,
当P在y轴正半轴上,四边形ABPQ为菱形,①可得AQ=AB=2,且Q与A的横坐标相同,
此时Q坐标为(1,2),②AP=AQ= ,Q与A的横坐标相同,此时Q坐标为(1,
),
当P在y轴负半轴上,四边形ABPQ为菱形,①可得AQ=AB=2,且Q与A横坐标相同,
此时Q坐标为(1,﹣2),②BP垂直平分AQ,此时Q坐标为(﹣1,0),
综上,满足题意Q坐标为(1,2)、(1,﹣2)、(1, )、(﹣1,0).
【解析】(1)直线y=- x+
分别交x轴,y轴于A,B两点,点C在x轴负半轴上,当x=0时,y=
;当y=0时,x=1;所以点A坐标为(1,0),点B坐标为(0,
),在Rt△BOC中,∠OCB=30°,OB=
,得到BC=2
,得到 OC=3,即点C坐标为(﹣3,0);(2)OA=1,OB=
,AB=2,得到∠ABO=30°,同理:BC=2
,∠OCB=30°,得到∠OBC=60°,∠ABC=90°,分两种情况考虑:若M在线段BC上时,BC=2
,CM=t,可得BM=BC﹣CM=2
﹣t,此时S△ABM=BMAB÷2=(2
﹣t)×2÷2=2
﹣t(0≤t<2
);若M在BC延长线上时,BC=2
,CM=t,可得BM=CM﹣BC=t﹣2
,此时S△ABM=BMAB÷2=(t﹣2
)×2÷2=t﹣2
(t≥2
);(3)当P在y轴正半轴上,四边形ABPQ为菱形,①可得AQ=AB=2,且Q与A的横坐标相同,此时Q坐标为(1,2),②AP=AQ= 2
÷3 ,Q与A的横坐标相同,此时Q坐标为(1, 2
÷3),当P在y轴负半轴上,四边形ABPQ为菱形,①可得AQ=AB=2,且Q与A横坐标相同,此时Q坐标为(1,﹣2),②BP垂直平分AQ,此时Q坐标为(﹣1,0),综上,满足题意Q坐标为(1,2)、(1,﹣2)、(1, 2
÷3 )、(﹣1,0).
