Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆与BC相切于点E，交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．

（1）求证：AE平分∠BAC

（2）若sin∠EFA=，AF=，求线段AC的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6.4

【解析】

（1）连接OE，根据切线的性质可得：∠BEO=∠C=90°，则OE∥AC，根据同圆的半径相等，可解决问题；
（2）过A作AH⊥EF于H，根据三角函数先计算AH=4，证明△AEH是等腰直角三角形，则AE=AH=8，证明△AED∽△ACE，可解决问题．

（1）连接OE，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠BEO=∠C=90°，

∴OE∥AC

∴∠CAE=∠OEA，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠OAE=∠CAE，即AE平分∠BAC

（2）过A作AH⊥EF于H，

中，==

AF=

AH=

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=45°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

=8

∵===

AD=10

∵，=90°

∽

∴

∴

∴AC=6.4