题目内容

【题目】如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点,一次函数的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1)
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.

【答案】
(1)

解:∵点A(4,1)在反比例函数y= 的图象上,

∴m=4×1=4,

∴反比例函数的解析式为y=


(2)

解:∵点B在反比例函数y= 的图象上,

∴设点B的坐标为(n, ).

将y=kx+b代入y= 中,得:

kx+b= ,整理得:kx2+bx﹣4=0,

∴4n=﹣ ,即nk=﹣1①.

令y=kx+b中x=0,则y=b,

即点C的坐标为(0,b),

∴SBOC= bn=3,

∴bn=6②.

∵点A(4,1)在一次函数y=kx+b的图象上,

∴1=4k+b③.

联立①②③成方程组,即

解得:

∴该一次函数的解析式为y=﹣ x+3.


【解析】(1)由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义,即可求出m的值;
    (2)设点B的坐标为(n, ),将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,利用根与系数的关系可找出n、k的关系,由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系,再由点A在一次函数图象上,可找出k、b的关系,联立3个等式为方程组,解方程组即可得出结论.本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及根与系数的关系,解题的关键是:(1)利用反比例函数系数k的几何意义求出m的值;(2)根据各关系量找出关于k、b、n的三元一次方程组.本题属于中档题,难度不大,但考到的知识点较多,解决该题型题目时,综合根与系数的关系、三角形的面积公式以及一次函数上点的坐标特征得出方程组是关键.

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