题目内容

【题目】如图,△ABC△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°△DEF的顶点E△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q

1)如图,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE

2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPE∽△CEQ;并求当BP= CQ= 时,PQ两点间的距离 (用含的代数式表示)

【答案】(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°AB=AC,又由AP=AQEBC的中点,利用SAS,可证得△BPE≌△CQE

2)由△ABC△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得△BPE∽△CEQPQ=a

【解析】试题分析:(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°AB=AC,又由AP=AQEBC的中点,利用SAS,可证得:△BPE≌△CQE

2)由△ABC△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得:△BPE∽△CEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,继而求得AQAP的长,利用勾股定理即可求得PQ两点间的距离.

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=45°AB=AC

∵AP=AQ

∴BP=CQ

∵EBC的中点,

∴BE=CE

∴△BPE≌△CQESAS);

2)连接PQ

∵△ABC△DEF是两个全等的等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=∠DEF=45°

∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°

∴∠BEP=∠EQC

∴△BPE∽△CEQ

∵BP=aCQ=aBE=CE

∴BE=CE=

∴BC=3

∴AB=AC=BCsin45°=3a

∴AQ=CQ-AC=PA=AB-BP=2a

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