Question

（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据OA=OC，推出∠BAC=∠OCA，求出∠OCA=∠CAM，推出OC∥AM，求出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据OC=OA推出∠BAC=∠ACO，求出∠COE=2∠CAB=60°，在Rt△COE中，根据CE=OC•tan60°求出即可．

解答：解：（1）直线CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠CAB=30°，
∴∠COE=2∠CAB=60°，
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°=3

3

．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线性质，锐角三角函数的定义，三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．