Question

（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；
（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．

解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴CP=CF•tan∠CFP=

3

×

3

3

=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=

1

2

BC=

3

2

，
∴PG=CG-CP=

3

2

-1=

1

2

．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=

AG2+PG2

=

( 3 2 )2+( 1 2 )2

=

10

2

．

（2）由（1）可知，FC=

3

．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC=

3

长为半径画弧，与BC交于点P₁、P₂，则AP₁=AP₂=

3

．

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=

1

2

BC=

3

2

．
在Rt△AGP1中，cos∠P₁AG=

AG

AP1

=

3 2

3

=

3

2

，
∴∠P₁AG=30°，
∴∠P₁AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．

探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，

∠MAD=∠C AD=CD ∠MDA=∠NDC

∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=

2

2

BC-CN=

3 2

2

-x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN=

AM2+AN2

=

x2+( 3 2 2 -x)2

=

2x2-3 2 x+ 9 2

=

2(x- 3 2 4 )2+ 9 4

．
△AMN的周长为：AM+AN+MN=

3 2

2

+

2(x- 3 2 4 )2+ 9 4

，
当x=

3 2

4

时，有最小值，最小值为

3 2

2

+

9 4

=

3+3 2

2

．
∴△AMN周长的最小值为

3+3 2

2

．

点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．