题目内容
【题目】如图1,已知抛物线C1:与x轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与
轴的交点为C(0,-3),其顶点为D.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)如图1,将△OBC沿轴向右平移m个单位长度(0﹤
≤
)得到另一个三角形△EFG,将△EFG与△BCD重叠部分(四边形BPGQ)的面积记为S,用含m的代数式表示S;
(3)如图2,将抛物线C1平移,使其顶点为原点O,得到抛物线C2.若直线与抛物线C2交于S、T两点,点
是线段ST上一动点(不与S、T重合),试探究抛物线C2上是否存在一点R,点R关于点N的中心对称点K也在抛物线C2上.
【答案】(1);(2)S=
;(3)存在一点R,点R关于点
的中心对称点K也在抛物线
上.
【解析】
(1)将已知的抛物线上两点的坐标代入抛物线中进行求解即可.
(2)、(3)见详解.
解:(1)∵ ,
在抛物线
上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线的解析式为
,
则 解得
∴ 直线的解析式为
.
△沿
轴向右平移
个单位长度(0﹤
≤
)得到△
易得直线的解析式为
设直线的解析式为
则 解得
则直线的解析式为
如图交
于点
,
交
于点
,则
,
联立 解得
即点(
,
)
∴
=
(3)设(
,4),若抛物线
:
上存在一点
(
,
),
则点关于点
成中心对称的点为K(
,
)
假设(
,
)在抛物线
:
上
∴
整理得关于 的一元二次方程
∵ 点(
,4)在线段
上且不与
、
重合
∴ 则
∴
故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
∴抛物线上存在一点R,点R关于点
的中心对称点K也在抛物线
上.

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