Question

如图所示，已知直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x2+6交于A、B两点，点C是抛物线的顶点．
（1）求出点A、B的坐标；  
（2）求出△ABC的面积；
（3）在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x²+6交于A、B两点，可得方程-

1

2

x=-

1

4

x²+6，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC即可求得答案；
（3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设P（a，-

1

4

a²+6），即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x²+6交于A、B两点，
∴-

1

2

x=-

1

4

x²+6，
解得：x=6或x=-4，
当x=6时，y=-3，
当x=-4时，y=2，
∴点A、B的坐标分别为：（6，-3），（-4，2）；

（2）∵点C是抛物线的顶点．
∴点C的坐标为（0，6），
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=

1

2

×6×4+

1

2

×6×6=30；

（3）存在．
过点P作PD∥OC，交AB于D，
设P（a，-

1

4

a²+6），
则D（a，-

1

2

a），
∴PD=-

1

4

a²+6+

1

2

a，
∴S_△ABP=S_△BDP+S_△ADP=

1

2

×（-

1

4

a²+6+

1

2

a）×（a+4）+

1

2

×（-

1

4

a²+6+

1

2

a）×（6-a）=-

5

4

（a-1）²+

125

4

（-4＜a＜6），
∴当a=1时，△ABP的面积最大，
此时点P的坐标为（1，

23

4

）．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．