题目内容

如图1,已知抛物线C经过原点,对称轴与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且

(1)求抛物线C的解析式;
(2)将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线,抛物线与x轴的另一交点为A,B为抛物线上横坐标为2的点。
①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;
②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于E1、F1,再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2,点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值。

解:(1)∵抛物线的对称轴为,∴ON=3。
,∴NM=9。∴M(-3,-9)。
∴设抛物线C的解析式为
∵抛物线C经过原点,∴,即
∴抛物线C的解析式为,即
(2)①∵抛物线由抛物线C绕原点O旋转1800得到,
∴抛物线与抛物线C关于原点O对称。∴抛物线的顶点坐标为(3,9)。
∴抛物线的解析式为,即
∵令y=0,得x=0或x=6,∴A(6,0)。
又∵B为抛物线上横坐标为2的点,∴令x=2,得y=8。∴B(2,8)。
设直线AB的解析式为y=kx+b,
,解得:
∴直线AB的解析式为
∵P为线段AB上一动点,∴设P

APD面积的最大值为9。
②如图,分别过E2、F2作x轴的垂线,垂足分别为G、H,

易求直线OB:,由①直线AB:
时,E1在OB上,F1在AB上,
OE=t,EE1=4t,EG=,OG=,GE2=2t;
OF=,FF1=2t,HF=,OH=,HF2= t。
∴E(t,0),E1(t,4t),E2,2t),F(6-t,0),F1,2t),F2,t)。
i)若EE1与FF1在同一直线上,由t=6-t,t=3,不符合
ii)若EE2与F1F2在同一直线上,易求得EE2,将F1,2t)代入,得,解得
iii)若E1E2与FF2在同一直线上,易求得E1E2,将F(,0)代入,得
时,E1、F1都在AB上,
OE=t,EE1=,EG=,OG=,GE2=
OF=,FF1=2t,HF=,OH=,HF2= t。
∴E(t,0),E1(t,),E2),F(,0),F1,2t),F2,t)。
i)若EE1与FF1在同一直线上,由t=6-t,t=3;
ii)若EE2与F1F2在同一直线上,易求得EE2,将F1,2t)代入,得,解得,不符合
iii)E1E2与FF2已在时在同一直线上,故当时E1E2与FF2不可能在同一直线上。
时,由上面讨论的结果,△AE1E2的一边与△AF1F2的某一边不可能在同一直线上。
综上所述,当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时,解析

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